Seguro que lo has comprobado en alguna sobremesa, en una libreta o en la última página de un examen. El tres en raya de toda la vida acaba casi siempre igual: con un empate y alguien diciendo «otra». Si los dos jugadores no se equivocan, ninguno puede ganar. Es un juego resuelto, y si lo sigues jugando es por pura costumbre.

Ahora añade una dimensión. Coloca tres tableros de 3×3 uno encima de otro hasta formar un cubo de 27 casillas y deja que las líneas ganadoras crucen los pisos en vertical y en diagonal. El juego parece mucho más complicado, pero en realidad se vuelve injusto de una forma casi cómica. Según recoge el blog de curiosidades matemáticas Futility Closet, en el cubo de 3×3×3 gana siempre el jugador que se queda con la casilla central.

Un cubo donde nadie puede empatar

La explicación del desastre está en las cuentas. Un tablero plano tiene 8 líneas ganadoras: tres filas, tres columnas y dos diagonales. El cubo de 3×3×3 tiene 49. Esas líneas recorren filas, columnas y pilas verticales en cada dirección, las diagonales de cada cara y de cada corte interior, y las cuatro grandes diagonales que van de una esquina del cubo a la opuesta.

La casilla central está en 13 de esas 49 líneas, más que ninguna otra. Quien empieza la ocupa, presiona desde todas partes y el rival no da abasto para tapar amenazas. Resultado: victoria segura para el primero que mueve.

Hay un detalle todavía más curioso. En el cubo no se puede empatar, ni siquiera a propósito. Si llenas las 27 casillas, el primer jugador pone 14 cruces y el segundo 13 círculos, y no hay manera de repartirlas sin que salga al menos una línea completa. Puedes intentarlo con paciencia y un lápiz: el cubo siempre acaba dando un ganador. Si el juego plano es un empate eterno, la versión en 3D es justo lo contrario.

¿Y si gana el que pierde?

Ya que el juego normal no tiene emoción, los aficionados a la matemática recreativa hicieron lo de siempre: darle la vuelta a las reglas. En la versión «misère» (así llaman los matemáticos a los juegos al revés), pierde quien completa una línea. Ya no se trata de hacer tres en raya, sino de no hacerlo.

Uno pensaría que aquí conviene evitar el centro como si quemara, porque es la casilla más peligrosa del tablero. Pues no. La mejor estrategia sigue siendo quedarse con el centro en el primer movimiento. Después, el primer jugador solo tiene que hacer de espejo: cada vez que el rival marca una casilla, él marca la opuesta, la que queda en el lado contrario del cubo pasando por el centro.

¿Por qué funciona? Vamos a verlo sin fórmulas:

• Líneas que no pasan por el centro. Como las fichas del primer jugador son el reflejo exacto de las del segundo, si el primero completara una línea así, el segundo ya habría completado la línea reflejada justo un turno antes. El segundo pierde primero.
• Líneas que pasan por el centro. Para completar una de estas, el primer jugador necesitaría dos casillas opuestas además del centro. Pero solo marca la opuesta de lo que marca el rival, así que nunca puede tener las dos de una misma pareja.
• El final. Como el empate es imposible, alguien acabará cerrando una línea, y la estrategia del espejo garantiza que no será el primer jugador.

En resumen: el primero gana en la versión normal y también en la versión al revés, usando la misma casilla. Ser el segundo en este juego es como llegar a un examen sorpresa del que el profesor ya ha repartido las respuestas, pero solo a tu compañero.

Cuanto más grande, más difícil de resolver

Por esto el cubo de 3×3×3 no se ha hecho popular: con el reparto de turnos ya está decidido. Las versiones que sí han dado juego son más grandes, como el cubo de 4×4×4, conocido comercialmente como Qubic. Allí el centro ya no es una sola casilla y la partida tiene mucho más recorrido. Aun así, también acabó resuelta: el informático Oren Patashnik demostró con ayuda de ordenador, en 1980, que el primer jugador puede forzar la victoria.

La lección se repite en muchos juegos sencillos: cuando la estrategia perfecta se puede calcular, la emoción desaparece. Seguimos jugando al tres en raya porque, en la vida real, nadie juega perfecto. Ni siquiera el que presume de ello en la sobremesa.

Por qué importa

Este pasatiempo de libreta es una buena puerta de entrada a la teoría de juegos combinatorios, la rama de las matemáticas que estudia juegos sin azar ni información oculta y que ha servido para analizar desde el ajedrez hasta el diseño de algoritmos. La jugada del espejo es una herramienta clásica en estas demostraciones, y que el empate sea imposible en el cubo conecta con resultados serios sobre cómo se colorean estructuras geométricas. Y además te da un argumento estupendo para la próxima partida: si alguien te propone jugar en 3D, pide salir tú y ve directo al centro.