Coge una tarta redonda. Haz marcas en el borde para que queden arcos de tres tamaños: pequeños (1), medianos (2) y grandes (3), con el mismo número de arcos de cada tipo. Puedes colocarlos en el orden que quieras, a voluntad o tirando dados. Pase lo que pase, dos de tus marcas van a quedar en extremos opuestos de un mismo diámetro, mirándose de frente como dos vaqueros en un duelo al sol.

No es un truco de feria. Es un problema del matemático ruso Víktor Prasólov, autor de colecciones de problemas de geometría muy conocidas, y lo ha rescatado el blog de curiosidades Futility Closet. El enunciado cabe en un pósit y lo que pide es de las cosas más incómodas que se le pueden pedir a alguien: demostrarlo.

El enunciado, sin adornos

Un círculo está dividido por puntos en 3k arcos, de modo que hay k arcos de longitud 1, k de longitud 2 y k de longitud 3. Hay que demostrar que dos de los puntos de división son diametralmente opuestos, es decir, que la recta que los une pasa por el centro.

El caso más pequeño, con k = 1, se comprueba en un momento. Hay un arco de cada tamaño y la circunferencia mide 1 + 2 + 3 = 6. Si los colocas en el orden 1, 2, 3 empezando en la posición 0, las marcas caen en 0, 1 y 3, y el 0 y el 3 están separados exactamente media vuelta. Si pruebas 1, 3, 2, las marcas quedan en 0, 1 y 4, y ahora son el 1 y el 4 los que se miran. Da igual el orden: no hay manera de escapar.

La gracia está en que esto se cumple para cualquier k. Con diez arcos de cada tipo hay miles de millones de órdenes posibles y ni uno solo te libra del duelo.

Lo hemos comprobado (con un ordenador, que no se cansa)

Desconfiar está bien, así que en la redacción hemos escrito un pequeño programa que prueba todas las ordenaciones posibles hasta k = 5. Son 6 para k = 1, 90 para k = 2, 1.680 para k = 3, 34.650 para k = 4 y 756.756 para k = 5. En todas, sin excepción, aparece al menos una pareja de puntos enfrentados.

Eso sí, un ordenador que prueba casos no demuestra nada: solo nos convence de que no estamos persiguiendo un fantasma. Para estar seguros con cualquier k hace falta un razonamiento, y el que lleva a la solución empieza por tres observaciones bastante elegantes:

• Todo cae en números enteros. Si empiezas a contar en 0, cada marca está en una posición entera, porque los arcos miden 1, 2 o 3.
• Media vuelta también es un número entero. La circunferencia mide k·(1 + 2 + 3) = 6k, así que el punto opuesto a cualquier marca está a 3k de distancia y también cae en una posición entera.
• Las cuentas cuadran demasiado bien. Hay 6k posiciones enteras en total: 3k son marcas y otras 3k quedan dentro de los arcos (ninguna en los de longitud 1, una en cada arco de 2 y dos en cada arco de 3).

Ahora supón lo contrario de lo que quieres demostrar: que ninguna marca tiene enfrente otra marca. Entonces el punto opuesto a cada marca cae siempre en una posición interior, y como hay exactamente tantas marcas como posiciones interiores, la simetría de media vuelta las empareja una a una. A partir de ahí el truco consiste en tirar del hilo: dos marcas consecutivas (los extremos de un arco de 1) tienen enfrente dos posiciones interiores consecutivas, y eso solo cabe dentro de un arco de 3. Si sigues encadenando restricciones como esta, la suposición acaba chocando con el reparto a partes iguales de los tres tamaños. Te dejamos el último paso como reto de fin de semana. Por algo es un problema de Prasólov y no una sopa de letras.

Por qué importa

Parece un pasatiempo, y lo es, pero resume muy bien cómo trabajan las matemáticas: un enunciado que se entiende en diez segundos, una intuición que el ordenador confirma en casos pequeños y una demostración que exige ingenio de verdad. Contar posiciones, buscar simetrías y suponer lo contrario hasta llegar a un absurdo son herramientas que se usan igual en problemas de olimpiada que en criptografía o en teoría de códigos. Y deja una lección práctica para la próxima merienda: si cortas la tarta en trozos de tres tamaños, a partes iguales, alguien acabará sentado justo enfrente de otra persona. Las matemáticas no fallan, el reparto de la tarta ya es otra historia.