Imagina que te juegas la entrada en la universidad delante de una pregunta de geometría, la resuelves bien y tu respuesta no aparece entre las opciones. No te lo estás inventando por los nervios: el examen está mal. Eso les pasó en 1982 a los alumnos que hicieron el SAT, la gran prueba de acceso a la universidad de Estados Unidos. El fallo lo cometió nada menos que el College Board, la entidad que organiza el examen, y lo destapó una simple rueda que gira alrededor de otra.

La pregunta inocente

El enunciado parecía de trámite. Había dos círculos, A y B, uno junto al otro. El radio de A medía un tercio del radio de B. El pequeño rodaba alrededor del grande sin resbalar, y la pregunta era cuántas vueltas sobre sí mismo daba A hasta que su centro volvía al punto de partida. Las opciones eran 3/2, 3, 6, 9/2 y 9.

El razonamiento que esperaban los autores era impecable… sobre el papel. Si el radio de B triplica el de A, su circunferencia también es tres veces más larga. Así que A tiene que recorrer tres veces su propio perímetro y, por tanto, da 3 vueltas. Opción B, siguiente pregunta, a por el café.

Pues no. La respuesta correcta es 4, y no figuraba entre las cinco opciones.

Tres estudiantes contra el examen

Tres alumnos, Doug Jungreis, Shivan Kartha y Bruce Taub, demostraron que ninguna de las respuestas propuestas era válida. Al College Board no le quedó más remedio que reconocer el error y explicarlo. Su explicación, según recogió The New York Times el 25 de mayo de 1982, iba al grano:

«El movimiento del círculo pequeño no es en línea recta, sino alrededor del círculo grande».

Y añadía que ese giro alrededor del grande aporta una vuelta extra. La consecuencia no fue pequeña: hubo que volver a calcular la nota de matemáticas de unos 300.000 estudiantes. Todo un ejército de adolescentes que, sin saberlo, había respondido a una pregunta trampa que ni siquiera los examinadores habían resuelto bien.

De dónde sale la vuelta fantasma

El fenómeno se conoce como la paradoja de la rotación de la moneda, y puedes comprobarlo ahora mismo con dos monedas iguales. Deja una quieta sobre la mesa y haz rodar la otra a su alrededor sin que deslice. Cualquiera apostaría a que da una vuelta, porque los dos bordes miden lo mismo. Pero cuando vuelve a su sitio, la cara de la moneda ha girado dos veces.

La clave está en que hay dos movimientos sumados:

• El rodamiento: el borde de la moneda que se mueve va recorriendo el borde de la fija. Si fuera por una línea recta, eso daría las vueltas que dicta la proporción entre los perímetros.
• La órbita: al dar la vuelta completa alrededor de la otra, la moneda acaba girando una vez más sobre sí misma, igual que tú das un giro completo si caminas alrededor de una mesa mirando siempre hacia ella.

De ahí la fórmula general: si una circunferencia de radio r rueda por fuera de otra de radio R, da R/r + 1 vueltas. En el SAT, R/r valía 3, así que la respuesta era 3 + 1 = 4. El razonamiento de «tres veces el perímetro» acertaba con el rodamiento, pero se olvidaba de la órbita.

La vuelta extra se puede ver incluso en el cielo. Con respecto a las estrellas, la Tierra gira sobre sí misma una vez más al año de lo que indica el número de días solares, justo porque a la vez da una vuelta alrededor del Sol. Es la misma moneda, solo que a escala planetaria.

Por qué importa

La anécdota tiene gracia, pero deja una lección seria: la intuición, incluso la de los expertos que redactan exámenes para cientos de miles de personas, puede fallar con algo tan cotidiano como una rueda. Tres estudiantes que no se fiaron de la respuesta obvia obligaron a corregir a toda una institución, y eso es justo lo que se espera de las matemáticas: que tenga razón la demostración y no quien firma el examen. Así que la próxima vez que alguien te diga que algo «es evidente», saca dos monedas del bolsillo. Si te sale una vuelta, vuelve a contarlas.