Hay mapas que sirven para no perderse y mapas que sirven para perder la tarde entera. Hoy toca de los segundos. El blog de curiosidades Futility Closet ha reunido dos imágenes que parecen bromas de un profesor de matemáticas con demasiado tiempo libre. Las dos son reales: una África hecha de octógonos que se encogen siguiendo la proporción áurea y un estado de Texas que, repetido una y otra vez, cubre el suelo sin dejar ni una rendija.

Si alguna vez te ha costado cuadrar las baldosas del baño, prepárate para sentirte un poco peor.

África, versión fractal

La primera obra es del artista matemático iraní Hamid Naderi Yeganeh, conocido por crear imágenes a partir de reglas y fórmulas, no a pincel. Su África fractal está construida con octógonos colocados en niveles o «pisos», y la gracia está en cómo se relacionan esos pisos entre sí:

• El tamaño: las áreas de los octógonos de dos niveles consecutivos guardan la proporción áurea, ese famoso número que ronda el 1,618 y que aparece en tantos libros de arte y de matemáticas.
• La cantidad: el número de octógonos de cada nivel crece siguiendo la sucesión de Fibonacci, la de 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… en la que cada término es la suma de los dos anteriores.

No es casualidad que ambas ideas vayan juntas. Si divides un número de Fibonacci entre el anterior, el resultado se acerca cada vez más a la proporción áurea: 8 entre 5 da 1,6; 13 entre 8, 1,625; 21 entre 13, 1,615… Son dos caras de la misma moneda, y Naderi Yeganeh las usa a la vez, una para decidir cuánto miden las piezas y otra para decidir cuántas hay.

El resultado es un continente que, visto de lejos, se reconoce a la primera y que, visto de cerca, resulta ser un enjambre ordenadísimo de polígonos cada vez más pequeños. Es lo que tienen los fractales: cuanto más te acercas, más detalle aparece, como cuando abres un cajón «para buscar una cosa rápida».

Texas, la baldosa que no deja huecos

La segunda imagen es todavía más traviesa. La subió a Wikimedia Commons un usuario que firma como Anachronist, y muestra un mosaico infinito hecho únicamente con siluetas de Texas. Encajan unas con otras sin solaparse y sin dejar espacios vacíos. En matemáticas a eso se le llama teselación: cubrir el plano entero repitiendo una o varias formas, como hacen los azulejos, los panales de las abejas o los dibujos imposibles de Escher.

El autor explica de dónde le vino la idea:

«Después de ver hace muchos años una plaza con un enlosado de baldosas con forma de Texas, decidí reproducir esta teselación».

Es decir, alguien llegó a pavimentar un espacio público con Texas, y otra persona quedó tan impresionada que, años después, lo reconstruyó con precisión geométrica. Hay quien colecciona imanes de nevera y hay quien colecciona recuerdos de suelos.

El truco está en que cada Texas de la imagen es un polígono de 12 lados. El estado real tiene fronteras con curvas de río por medio, como las del río Grande, así que la baldosa es una versión simplificada, con líneas rectas. Aun así, conserva el perfil reconocible: el «mango» de arriba, la panza hacia el sur y la punta que baja hacia el golfo. Que una forma tan irregular encaje consigo misma sin trampas tiene bastante mérito.

¿Por qué unas formas encajan y otras no?

Con triángulos, cuadrados y hexágonos regulares se puede embaldosar cualquier suelo, y por eso son los reyes de las ferreterías. Con pentágonos regulares no hay manera: siempre quedan huecos. Cuando la forma es irregular, todo depende de que sus entrantes y salientes se complementen, de modo que lo que le sobra a una pieza sea justo lo que le falta a la vecina.

Ahí está la gracia de la Texas teselada: parece imposible y, sin embargo, las piezas se van colocando giradas y desplazadas hasta cerrar el puzle. Es la misma lógica que hace funcionar un puzle de mil piezas, solo que aquí todas las piezas son iguales y el puzle no se acaba nunca.

Juntas, las dos imágenes resumen dos maneras opuestas de jugar con la geometría. África se divide hacia dentro, en piezas cada vez más pequeñas que siguen una regla numérica. Texas se repite hacia fuera, igual a sí misma, hasta el infinito. Una se va encogiendo y la otra no para de multiplicarse. Mientras tanto, tú sigues sin cuadrar el rodapié del pasillo.

Por qué importa

Detrás de estas curiosidades hay matemáticas muy serias. Las teselaciones se estudian en cristalografía, en diseño de materiales y en arquitectura, y la proporción áurea y la sucesión de Fibonacci aparecen en problemas de crecimiento y de optimización. Que alguien las convierta en un mapa de África o en un suelo lleno de Texas es una manera estupenda de recordar que la geometría no vive solo en la pizarra: está en las plazas, en los azulejos y, si te descuidas, también en el baño de tu casa. Eso sí, aunque se pueda, nadie te obliga a alicatar la cocina con estados americanos.