Coge un compás de los de clase de Plástica, el que acababa clavado en el pupitre. Ábrelo un poco, apoya la punta en una hoja y traza un círculo. Ahora, sin tocar la abertura, apoya la punta en un balón y traza otro círculo sobre la bola. Pregunta para valientes: ¿cuál de las dos superficies es más grande, el disco plano o el casquete curvo?

La intuición contesta rápido y suele fallar. Uno piensa que el casquete, al estar curvado, «gana» superficie, o que la pierde porque el compás tiene que cerrarse un poco para apoyarse en la curva. Pues ni una cosa ni la otra: las dos áreas son exactamente iguales. Da igual el tamaño de la esfera y da igual cuánto abras el compás, siempre que la punta del lápiz llegue a tocar la bola. El blog de curiosidades matemáticas Futility Closet lo resumía así: «Sorprendentemente, las áreas del disco plano y del casquete esférico son iguales».

Qué está pasando de verdad

El truco está en lo que mide el compás. Las dos patas marcan una distancia en línea recta entre la punta y el lápiz. En el papel, esa distancia es el radio del círculo. En la esfera, en cambio, es la cuerda: el segmento recto que une el «polo» donde clavas la punta con cualquier punto del borde del casquete. No sigue la curva, va por dentro, como un túnel.

La geometría hace el resto, con dos ingredientes:

• El área de un casquete esférico es 2πRh, donde R es el radio de la esfera y h la altura del casquete (lo que «sobresale» la tapita).
• Por Pitágoras y un poco de geometría del círculo, la cuerda d que mide el compás cumple d² = 2Rh.

Si juntas las dos cosas, el área del casquete queda en πd². Y πd² es justo el área de un círculo plano de radio d, que es el que dibujaste en el folio con la misma abertura. Fin de la magia, o más bien principio, porque que salga tan limpio tiene bastante de magia.

Arquímedes ya lo había dejado atado

No es un descubrimiento de ayer ni de ninguna red social. El resultado aparece en Sobre la esfera y el cilindro, el tratado en el que Arquímedes de Siracusa calculó, en el siglo III antes de Cristo, la superficie y el volumen de la esfera. Allí demuestra que la superficie de un segmento esférico equivale a la de un círculo cuyo radio es precisamente esa cuerda que va del polo al borde. Lo hizo sin álgebra moderna, sin cálculo y sin calculadora, solo con figuras y con una paciencia de las que hoy cuesta encontrar.

Arquímedes estaba tan orgulloso de sus resultados sobre la esfera y el cilindro que, según la tradición, pidió que grabasen ambas figuras en su tumba. Cicerón contó que, siglos después, encontró el sepulcro abandonado entre la maleza en Siracusa y lo reconoció precisamente por ese dibujo. Pocos epitafios han presumido tanto de geometría.

Dos casos extremos para presumir en la cena

La regla funciona en todo el rango, y los extremos tienen su gracia:

• Media esfera. Si abres el compás hasta que el lápiz toque el ecuador de la bola, la abertura es R por la raíz de 2. El casquete es una semiesfera, de área 2πR², y el círculo plano con esa abertura mide π·2R². Cuadra.
• La esfera entera. Si abres el compás tanto como el diámetro (2R), la punta queda en un polo y el lápiz en el contrario. El «círculo» que trazas se encoge hasta un punto en las antípodas y el casquete se ha comido toda la bola: 4πR². En el folio, un círculo de radio 2R mide π·4R². Otra vez iguales.

Eso sí, para hacerlo en casa con una naranja, ten en cuenta que la naranja no es una esfera perfecta y el compás tampoco es un instrumento de laboratorio. Te saldrá un empate técnico, no una demostración. Para la demostración ya está Arquímedes.

Por qué importa

Esta curiosidad cabe en una servilleta y enseña algo serio: la intuición espacial falla en cuanto aparece una curva, y las matemáticas sirven precisamente para corregirla. La misma relación entre cuerdas y casquetes se usa hoy para calcular superficies sobre esferas, desde zonas de cobertura en la Tierra hasta el trozo de cielo que observa un telescopio. Y además deja un detalle bonito: un señor de Siracusa la demostró con regla, compás y paciencia hace más de dos mil años. Así que la próxima vez que alguien diga que el compás solo servía para pinchar al de al lado, ya tienes con qué contestarle.