Imagina una partida de ajedrez en un tablero que no se acaba nunca. No tiene esquinas, ni bordes, ni una mesa donde termine. Las piezas son las de siempre y se mueven igual, pero el espacio no tiene fin. Parece una idea de sobremesa, pero los matemáticos se la han tomado muy en serio. Gracias a eso existe una de las jugadas más raras que se pueden ver en un tablero: la del rey que se salva... de momento.

La blog de curiosidades matemáticas Futility Closet la ha recuperado hoy. Viene de un trabajo de los matemáticos C. D. A. Evans y Joel David Hamkins. Vamos por partes, que el infinito marea.

El problema: una torre que amenaza mate

Las blancas tienen una posición muy cómoda. Si avanzan su torre una sola casilla, dan jaque mate. En un tablero normal, eso sería el final y tocaría estrechar la mano del rival. Pero aquí las negras tienen un recurso que no existe en el ajedrez de toda la vida. Pueden coger su propia torre y mandarla hacia el norte a la distancia finita que quieran: diez casillas, mil, o un número con tantos ceros que no cabría en una servilleta.

¿Para qué sirve? Esa torre lejana deja al rey negro con un camino de huida hacia arriba. Cuando la torre blanca da jaque, el rey ya no está atrapado y puede retroceder por el tablero. Es como si, a punto de perder, cambiaras de sitio la salida de emergencia para que el pasillo fuese más largo.

La mala noticia: la huida no tiene final feliz

El rey negro sigue condenado, aunque de una forma curiosa. Las blancas mueven por turnos la dama y la torre, dos casillas cada vez, una y otra vez. Así persiguen al rey hacia el norte, siguiendo la pista de la torre que se fue de viaje.

El detalle clave es que cada jugada blanca es jaque. Las negras no tienen tiempo para nada más: ni defenderse, ni preparar un contraataque. Solo pueden correr. Y cuando el rey llega por fin a la altura de su torre lejana, el refugio se convierte en ratonera y las blancas dan mate.

El resumen de Futility Closet lo deja muy claro: las blancas tienen un mate forzado, pero

«no hay un límite para el número de jugadas que puede costar darlo».

Si las negras mandan la torre a cien casillas, la persecución dura unas cuantas decenas de jugadas. Si la mandan a un millón, el mate tarda muchísimo más. Ganar, las blancas ganan siempre. Lo que nadie puede decir de antemano es en cuántas jugadas.

¿Qué tiene que ver esto con el infinito de los matemáticos?

Aquí la curiosidad se convierte en matemática de verdad. En el ajedrez normal se habla de «mate en 3» o «mate en 7»: un número fijo de jugadas. Pero esta posición no es mate en ningún número concreto. Sea cual sea el número que propongas, las negras pueden mandar la torre lo bastante lejos como para superarlo.

Al mismo tiempo, en cuanto las negras eligen la distancia, la posición pasa a ser un mate en un número finito y concreto de jugadas. Para describir eso, los matemáticos usan los números ordinales, que sirven para contar más allá de lo finito. Esta posición tiene «valor de juego ω» (omega). Es el primer ordinal infinito: mayor que cualquier número natural, pero de forma que, tras el primer paso de las negras, todo vuelve a ser finito. Así figura en el diagrama de la posición que hay en Wikimedia Commons.

Evans y Hamkins estudian estos valores en su artículo Transfinite Game Values in Infinite Chess, publicado en arXiv en 2013. Allí analizan posiciones del ajedrez infinito cuya victoria solo se puede medir con estos números «más allá del infinito». Dicho de otra forma: hay partidas que no son solo largas, sino largas de una manera que necesita matemáticas especiales para medirse.

• Tablero: sin límites en ninguna dirección.
• Truco de las negras: alejar su torre tanto como quieran.
• Respuesta de las blancas: jaque tras jaque con la dama y la torre, avanzando de dos en dos.
• Resultado: mate seguro, pero sin un límite fijo de jugadas.

Lo más bonito de todo es que el rey negro decide cuánto tiempo va a durar su huida, pero no cómo termina. Tiene control total sobre el «cuándo» y ninguno sobre el «qué». Un poco como cuando eliges a qué hora poner el despertador: puedes retrasarlo todo lo que quieras, pero acabará sonando.

Por qué importa

El ajedrez infinito no se juega en ningún club, pero es un laboratorio estupendo para la lógica y la teoría de juegos. Sirve para estudiar qué significa «ganar» cuando el número de jugadas no tiene un tope fijo. Y conecta un juego que todos conocemos con los ordinales transfinitos, una de las ideas más extrañas de las matemáticas. Además, deja una lección que vale también fuera del tablero: retrasar lo inevitable no es lo mismo que evitarlo, por muy lejos que tires la torre.