Hay gente que se pasa media vida intentando conocerse a sí misma. Y luego está el 1210, que lo tiene resuelto desde siempre. Basta leerlo con calma para que te cuente su vida: tiene un cero, dos unos, un dos y ningún tres. No le hace falta terapia ni un retiro de silencio en Asturias. Es un número que lleva su propia ficha técnica.

El blog de curiosidades Futility Closet ha vuelto a sacar este tema, que empieza en una novela y termina en un club matemático bastante exclusivo.

De una novela a la pizarra

En Cutting for Stone (2009), la novela del médico y escritor Abraham Verghese, un personaje presume de haber encontrado un número muy especial: el 10213223. Según él, es el único que se describe a sí mismo cuando lo lees. Hay que leerlo de dos en dos, como quien desmonta un mueble de instrucciones suecas:

«Un cero, dos unos, tres doses y dos treses»

Y si lo compruebas, cuadra: 1-0, 2-1, 3-2, 2-3. Un cero, dos unos, tres doses y dos treses. El número se presenta solo, como quien se pone la acreditación en un congreso.

Los matemáticos, que nunca dejan una idea tranquila, afinaron un poco el juego. Imagina un número en el que la primera cifra indica cuántos ceros tiene, la segunda cuántos unos, la tercera cuántos doses, y así sucesivamente. A estos números se les llama autobiográficos. El nombre les va como anillo al dedo: cada uno es una pequeña biografía de sí mismo, escrita en primera persona y sin ayuda de un negro literario.

Un club con siete socios

Lo más gracioso es que casi nadie consigue entrar. En nuestro sistema decimal, la lista completa que recoge la fuente es esta:

• 1210
• 2020
• 21200
• 3211000
• 42101000
• 521001000
• 6210001000

Y ya está. Siete. Se ven más fichajes en una ventana de mercado de un equipo modesto de Segunda que socios en este club.

Pongamos a prueba al más largo, el 6210001000. La primera cifra es un 6, así que debería tener seis ceros. Cuéntalos: los tiene. La segunda es un 2, que exige dos unos, y ahí están. La tercera es un 1, que pide un dos, y lo hay. Las tres siguientes son ceros: ni treses, ni cuatros, ni cincos. La séptima es un 1, porque hay exactamente un seis, que es el que abre el número. El resto, ceros: ni sietes, ni ochos, ni nueves. Todo encaja como un Tetris bien jugado.

¿Por qué no hay autobiográficos de once o doce cifras? Porque en base diez solo existen diez dígitos que contar, del 0 al 9. Un número de once cifras necesitaría una casilla para contar algo que no existe. Sería como apuntar en la lista de la compra cuántos unicornios te quedan en la nevera.

Además, si te fijas en los cuatro últimos de la lista, verás que siguen un patrón casi de fábrica: una cifra que crece, luego un 2 y un 1, un puñado de ceros, un 1 suelto y tres ceros de cierre. El 3211000, el 42101000, el 521001000 y el 6210001000 son, prácticamente, la misma familia con distinta talla de pantalón.

Números que se echan flores entre ellos

No todos los números van de mirarse al espejo. La matemática Tanya Khovanova, del MIT, conocida por coleccionar rarezas numéricas, encontró parejas que ella llama «mutuamente elogiosas» (mutually praising). La idea es la misma, pero cruzada: en lugar de describirse a sí mismo, cada número hace el inventario de las cifras del otro. El primero cuenta cuántos ceros, unos y doses tiene su compañero, y el compañero le devuelve el favor.

Es la versión aritmética de esos amigos que se escriben la carta de recomendación el uno al otro. Con la diferencia de que aquí nadie exagera: si un número dice que su pareja tiene tres doses, tiene tres doses y ni uno más.

Si te apetece entretenerte, el reto está a mano: coge papel y boli e intenta construir un autobiográfico de cuatro cifras sin mirar la lista. Hay dos (1210 y 2020) y encontrarlos a mano da una satisfacción comparable a cuadrar un sudoku difícil sin borrar.

Por qué importa

Estos números no sirven para pagar la hipoteca ni para lanzar cohetes, pero son un buen ejemplo de cómo funcionan las matemáticas recreativas. Se parte de una ocurrencia casi literaria, se le ponen reglas precisas y aparece una estructura con límites claros: solo siete casos en base diez y un techo de diez cifras que se explica por pura lógica. Ese paso de la anécdota al patrón, y del patrón a la demostración, es justo lo que hacen los matemáticos en su trabajo de verdad. Y además deja una lección muy sana: hay números que se conocen mejor a sí mismos que la mayoría de nosotros un lunes por la mañana.